第268章 这篇论文的作者是谁（4 / 5）
“老师，你把零点的实部上限σ缩小到了0.41了？”
迈克尔狂喜。
这些天他研究了不少关于黎曼猜想的论文，不止陈辉给他的那一堆，他自己也找了一些参考资料。
他知道，1940年ingham提出的零点密度上界理论，将关键参数实部上限σ缩小至0.6，之后八十多年毫无进展，直到前几年，古斯和梅纳德两人才将这个参数缩小到0.52。
这已经让陶哲轩对此做出高度评价。
如果老师将这个参数缩小到0.41，可想而知将会在数学界引起怎样的轰动。
不过转念一想，比起老师之前的成果，这个倒也显得稀疏平常，但他还是很激动。
“回答我的问题。”
陈辉面不改色，他的确通过改进古斯和梅纳德的方法，将σ缩小到了0.41，但这也已经是那个方法的极限，只能算是为他排除了一条错误的路径，算不得什么成果。
迈克尔更加确定自己的猜测，满脸兴奋之色。
但他还是很快恢复冷静，这些天研读的论文自动出现在脑海，虽然嘴上说着要开趴体，但这一周他可没闲着，不仅完成了陈辉给他的那迭论文的研读，还自己查了不少资料。
只是几分钟后，他就有了初步的答案，“可能需要分析狄利克雷多项式的大值估计，传统方法用的是矩估计，但如果能找到更优的指数和估计，或者利用自守形式的傅里叶分析……”
“停。”陈辉抬手，“你刚才说的‘矩估计’，具体指什么？”
迈克尔一滞，“比如，计算ζ(1/2+it)的2k次幂的平均模长，通过积分估计其与零点密度的关系。”
“为什么矩估计在这里有效？”
“因为……”迈克尔的声音低了下去，“零点密度与ζ函数在临界线附近的振荡频率相关，而高次矩能捕捉到更精细的振荡模式。”
陈辉转身从抽屉里抽出一张草稿纸，唰唰唰的在上面写下一串公式“这是古斯和梅纳德去年用的收缩不等式，把高维的kakeya问题降维到了平面，如果把它应用到狄利克雷多项式的估计中，你会怎么调整？”
迈克尔的瞳孔微微收缩，这张公式他在查资料的时候见过，当时只觉得过于抽象。
迈克尔的笔尖在草稿纸上划动，将复分析的符号与几何分析的框架重迭，“假设我们有一个关于t的函数f(t)=ζ(1/2+it)，要估计其在区间[t，2t]内的最大模，传统方法用的是l^p范数，但如果用分解技术，把f(t)拆成低频和高频部分……”
“够了。”陈辉打断他，“你刚才的推导忽略了一个问题，狄利克雷多项式的相位是线性的，而kakeya问题的相位是多项式的，这种差异会导致收缩不等式的适用条件改变，如果直接套用，会导致误差项爆炸。”
办公室陷入短暂的沉默。
迈克尔低头翻笔记，突然抬头，“陈教授，您上周在seminar里提到，孪生素数猜想的突破依赖于‘算术级数中的素数分布更均匀’，这和黎曼猜想中的零点分布是否有联系？”
陈辉的眼神亮了一下，“很好的问题。
孪生素数猜想是关于素数间隔的，而黎曼猜想是关于素数定理误差的。
简单来说，如果黎曼猜想成立，素数定理的误差项是o(x^(1/2)logx)，这意味着素数在自然数中的分布比任何‘合理猜测’都更均匀。
而孪生素数的间隔下界，本质上也是这种均匀性的体现——如果素数分布足够均匀，它们不会长时间消失，只会偶尔成对出现……”
两人在办公室中一问一答，旁听的埃琳娜和邓乐岩两人却忽然生出一股紧迫感，他们原本都只是将彼此当成对手，认为这个新来的黑人小哥估计是老师招进来的开心果。
但现在看来，这个家伙的实力，强得可怕！
“很好！”
两个多小时的问答让陈辉眼睛越来越亮，这个世界果然从来都不缺少天才，而天才，往往都是互相吸引的。 ↑返回顶部↑
迈克尔狂喜。
这些天他研究了不少关于黎曼猜想的论文，不止陈辉给他的那一堆，他自己也找了一些参考资料。
他知道，1940年ingham提出的零点密度上界理论，将关键参数实部上限σ缩小至0.6，之后八十多年毫无进展，直到前几年，古斯和梅纳德两人才将这个参数缩小到0.52。
这已经让陶哲轩对此做出高度评价。
如果老师将这个参数缩小到0.41，可想而知将会在数学界引起怎样的轰动。
不过转念一想，比起老师之前的成果，这个倒也显得稀疏平常，但他还是很激动。
“回答我的问题。”
陈辉面不改色，他的确通过改进古斯和梅纳德的方法，将σ缩小到了0.41，但这也已经是那个方法的极限，只能算是为他排除了一条错误的路径，算不得什么成果。
迈克尔更加确定自己的猜测，满脸兴奋之色。
但他还是很快恢复冷静，这些天研读的论文自动出现在脑海，虽然嘴上说着要开趴体，但这一周他可没闲着，不仅完成了陈辉给他的那迭论文的研读，还自己查了不少资料。
只是几分钟后，他就有了初步的答案，“可能需要分析狄利克雷多项式的大值估计，传统方法用的是矩估计，但如果能找到更优的指数和估计，或者利用自守形式的傅里叶分析……”
“停。”陈辉抬手，“你刚才说的‘矩估计’，具体指什么？”
迈克尔一滞，“比如，计算ζ(1/2+it)的2k次幂的平均模长，通过积分估计其与零点密度的关系。”
“为什么矩估计在这里有效？”
“因为……”迈克尔的声音低了下去，“零点密度与ζ函数在临界线附近的振荡频率相关，而高次矩能捕捉到更精细的振荡模式。”
陈辉转身从抽屉里抽出一张草稿纸，唰唰唰的在上面写下一串公式“这是古斯和梅纳德去年用的收缩不等式，把高维的kakeya问题降维到了平面，如果把它应用到狄利克雷多项式的估计中，你会怎么调整？”
迈克尔的瞳孔微微收缩，这张公式他在查资料的时候见过，当时只觉得过于抽象。
迈克尔的笔尖在草稿纸上划动，将复分析的符号与几何分析的框架重迭，“假设我们有一个关于t的函数f(t)=ζ(1/2+it)，要估计其在区间[t，2t]内的最大模，传统方法用的是l^p范数，但如果用分解技术，把f(t)拆成低频和高频部分……”
“够了。”陈辉打断他，“你刚才的推导忽略了一个问题，狄利克雷多项式的相位是线性的，而kakeya问题的相位是多项式的，这种差异会导致收缩不等式的适用条件改变，如果直接套用，会导致误差项爆炸。”
办公室陷入短暂的沉默。
迈克尔低头翻笔记，突然抬头，“陈教授，您上周在seminar里提到，孪生素数猜想的突破依赖于‘算术级数中的素数分布更均匀’，这和黎曼猜想中的零点分布是否有联系？”
陈辉的眼神亮了一下，“很好的问题。
孪生素数猜想是关于素数间隔的，而黎曼猜想是关于素数定理误差的。
简单来说，如果黎曼猜想成立，素数定理的误差项是o(x^(1/2)logx)，这意味着素数在自然数中的分布比任何‘合理猜测’都更均匀。
而孪生素数的间隔下界，本质上也是这种均匀性的体现——如果素数分布足够均匀，它们不会长时间消失，只会偶尔成对出现……”
两人在办公室中一问一答，旁听的埃琳娜和邓乐岩两人却忽然生出一股紧迫感，他们原本都只是将彼此当成对手，认为这个新来的黑人小哥估计是老师招进来的开心果。
但现在看来，这个家伙的实力，强得可怕！
“很好！”
两个多小时的问答让陈辉眼睛越来越亮，这个世界果然从来都不缺少天才，而天才，往往都是互相吸引的。 ↑返回顶部↑