第134章 迷宫（2 / 4）
对於固定的差值k=m—n，不整除k的素数占比大约是n_{p|k} (1—1/p)。
所以第一项约等於(n_{p|k} (1—1/p)) · Σ_{p≤x} w(p)。
第二项是Σ_{p≤x} w(p)/p。
两者相减后，主项抵消，剩下的是一个收敛级数。
当k=2时，只有p=2整除k。
所以n_{p|k} (1—1/p) = 1—1/2 = 1/2。
因此：d?(φ(m), φ(n)) = lim [ (1/2)·Σ_{p≤x} w(p) Σ_{p≤x} w(p)/p ] + 有限修正= lim Σ_{p≤x} w(p)·(1/2 1/p) + 有限修正
当p很大时，(1/2 1/p)趋近於1/2，所以这个级数发散，除非w(p)衰减得足够快。
w(p) = (p—1)/p · log p ~ log p。
乘以(1/2 1/p)后，仍然~ (1/2) log p，求和发散。
又卡住了。
肖宿揉了揉紧绷的太阳穴。
也许w(p)需要重新设计。
也许应该让w(p)衰减得快一些，比如w(p) = log p / p？
但这样在之前的有理点估计中就不够用了。
他陷入了沉思。
窗外传来远处的汽车声，很轻，像是从另一个世界飘来的。
等等。
肖宿突然想到一种可能性。
也许根本不需要d?(φ(m), φ(n)) = 2这个条件。
也许孪生素数的本质特徵在於，φ(m)和φ(n)在x中形成某种特殊的“双子结构”，一种在辛几何意义下的配对。
他想起自己在顾—辛框架中定义的“孪生结构”，那原本是用来描述辛流形上两个互为对偶的子流形的。
如果把这个概念移植过来...
孪生结构的定义是设(m, w)是一个辛流形，l1和l2是两个拉格朗日子流形。
如果存在一个辛同胚φ: m→m，使得φ(l1)=l2，且φ^2=id，则称(l1, l2)构成一个孪生结构。
现在，把x看作一个辛流形。把每个素数p对应的“点”看作一个零维拉格朗日子流形。
那么，孪生素数对(p, p+2)对应於一对拉格朗日子流形，它们之间由一个特定的辛同胚相联繫。
这个辛同胚是什么？
肖宿放下笔沉思了会儿。
在数轴上，从p到p+2是一个平移。 ↑返回顶部↑
所以第一项约等於(n_{p|k} (1—1/p)) · Σ_{p≤x} w(p)。
第二项是Σ_{p≤x} w(p)/p。
两者相减后，主项抵消，剩下的是一个收敛级数。
当k=2时，只有p=2整除k。
所以n_{p|k} (1—1/p) = 1—1/2 = 1/2。
因此：d?(φ(m), φ(n)) = lim [ (1/2)·Σ_{p≤x} w(p) Σ_{p≤x} w(p)/p ] + 有限修正= lim Σ_{p≤x} w(p)·(1/2 1/p) + 有限修正
当p很大时，(1/2 1/p)趋近於1/2，所以这个级数发散，除非w(p)衰减得足够快。
w(p) = (p—1)/p · log p ~ log p。
乘以(1/2 1/p)后，仍然~ (1/2) log p，求和发散。
又卡住了。
肖宿揉了揉紧绷的太阳穴。
也许w(p)需要重新设计。
也许应该让w(p)衰减得快一些，比如w(p) = log p / p？
但这样在之前的有理点估计中就不够用了。
他陷入了沉思。
窗外传来远处的汽车声，很轻，像是从另一个世界飘来的。
等等。
肖宿突然想到一种可能性。
也许根本不需要d?(φ(m), φ(n)) = 2这个条件。
也许孪生素数的本质特徵在於，φ(m)和φ(n)在x中形成某种特殊的“双子结构”，一种在辛几何意义下的配对。
他想起自己在顾—辛框架中定义的“孪生结构”，那原本是用来描述辛流形上两个互为对偶的子流形的。
如果把这个概念移植过来...
孪生结构的定义是设(m, w)是一个辛流形，l1和l2是两个拉格朗日子流形。
如果存在一个辛同胚φ: m→m，使得φ(l1)=l2，且φ^2=id，则称(l1, l2)构成一个孪生结构。
现在，把x看作一个辛流形。把每个素数p对应的“点”看作一个零维拉格朗日子流形。
那么，孪生素数对(p, p+2)对应於一对拉格朗日子流形，它们之间由一个特定的辛同胚相联繫。
这个辛同胚是什么？
肖宿放下笔沉思了会儿。
在数轴上，从p到p+2是一个平移。 ↑返回顶部↑