第134章 迷宫（1 / 4）
他的手动的飞快，空白的草稿纸被逐渐填满。
定义3 (孪生条件)：两个整数m和n是孪生素数对，若且唯若：
1. φ(m)和φ(n)都是x中的“算术奇点”，即对应素数的像；
2. d(φ(m), φ(n)) = 2；
其中2是所有p进分量差异的加权和。
如果m和n是孪生素数对，比如3和5，那么对於大多数素数p，|3—5|_p = | —2 |_p。
对於p≠2，|—2|_p = 1，因为—2不被p整除。
对於p=2，| —2 |_2 = 1/2，因为2整除—2一次。
所以d(φ(3), φ(5)) = Σ w(p) · 1 (对p≠2) + w(2) · (1/2)。
因为Σ w(p)发散，所以这个和发散。
所以3和5在加权度量下的距离是无穷大？
肖宿皱起眉头。
不对，这样定义有问题。
他意识到，如果直接用原始定义，任何两个不同整数的距离都是无穷大，因为对无穷多个p，|m—n|_p = 1。
加权和自然发散。
需要修改。
也许不是所有p都计入？
也许只有那些对“区分”m和n有贡献的p才计入？
肖宿托腮思考了一会儿，他觉得定义2还不够完备。
定义2在实际计算中，应该只考虑那些|m—n|_p ≠ 0的p，即p不整除m—n。
对於这些p，|m—n|_p = 1。
所以d(φ(m), φ(n))正比於这些p的权重和。
当m—n固定时，这个和发散，所以需要正规化。
减去发散项，留下有限部分。
肖宿自己曾经在《数学发明》那篇论文中用过类似的技巧：对於素数计数函数的误差项，减去主项后，剩余部分可以用一个收敛的级数表示。
在这里也可以用同样的方法。
定义2 (正规化加权度量)：定义正规化距离d?(φ(m), φ(n)) = lim_{x→∞} [ Σ_{p≤x, p?(m—n)} w(p) Σ_{p≤x} w(p)/p ]
这个定义的精妙之处在於，第一项求和是对所有不整除(m—n)的素数，第二项减去的是所有素数的某种平均。
当x→∞时，两个发散项抵消，留下一个有限值。
肖宿开始估算这个值。 ↑返回顶部↑
定义3 (孪生条件)：两个整数m和n是孪生素数对，若且唯若：
1. φ(m)和φ(n)都是x中的“算术奇点”，即对应素数的像；
2. d(φ(m), φ(n)) = 2；
其中2是所有p进分量差异的加权和。
如果m和n是孪生素数对，比如3和5，那么对於大多数素数p，|3—5|_p = | —2 |_p。
对於p≠2，|—2|_p = 1，因为—2不被p整除。
对於p=2，| —2 |_2 = 1/2，因为2整除—2一次。
所以d(φ(3), φ(5)) = Σ w(p) · 1 (对p≠2) + w(2) · (1/2)。
因为Σ w(p)发散，所以这个和发散。
所以3和5在加权度量下的距离是无穷大？
肖宿皱起眉头。
不对，这样定义有问题。
他意识到，如果直接用原始定义，任何两个不同整数的距离都是无穷大，因为对无穷多个p，|m—n|_p = 1。
加权和自然发散。
需要修改。
也许不是所有p都计入？
也许只有那些对“区分”m和n有贡献的p才计入？
肖宿托腮思考了一会儿，他觉得定义2还不够完备。
定义2在实际计算中，应该只考虑那些|m—n|_p ≠ 0的p，即p不整除m—n。
对於这些p，|m—n|_p = 1。
所以d(φ(m), φ(n))正比於这些p的权重和。
当m—n固定时，这个和发散，所以需要正规化。
减去发散项，留下有限部分。
肖宿自己曾经在《数学发明》那篇论文中用过类似的技巧：对於素数计数函数的误差项，减去主项后，剩余部分可以用一个收敛的级数表示。
在这里也可以用同样的方法。
定义2 (正规化加权度量)：定义正规化距离d?(φ(m), φ(n)) = lim_{x→∞} [ Σ_{p≤x, p?(m—n)} w(p) Σ_{p≤x} w(p)/p ]
这个定义的精妙之处在於，第一项求和是对所有不整除(m—n)的素数，第二项减去的是所有素数的某种平均。
当x→∞时，两个发散项抵消，留下一个有限值。
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